由于 $x\le 0$ 时 $f(x)=0$，所求积分化为 $I=\lambda {\int }_0^{+\infty }x{e}^{-\lambda x}dx$。先在有限区间分部积分：

因 $\lambda >0$，$e^{-\lambda b}\to 0$ 且 $b{e}^{-\lambda b}\to 0$，故 $I=\frac{1}{\lambda }$。

将负半轴的零积分去掉，再令 $t=\lambda x$，得 $I=\frac{1}{\lambda }{\int }_0^{+\infty }t{e}^{-t}dt$。分部积分有 ${\int }_0^{b}t{e}^{-t}dt=1-(b+1)e^{-b}\to 1$，所以 $I=\frac{1}{\lambda }$。