1999 · 数学二 · 第 15 题 · 解答题

已知函数

y = \frac{x ^{3}}{( x - 1 ) ^{2}}

。

答案

增区间为 $(- \infty, 1) \cup (3, + \infty)$ ；减区间为 $(1, 3)$ ；在 $x = 3$ 处取得极小值 $\frac{27}{4}$ ，无极大值。

当 $x \in (- \infty, 0)$ 时 $y^{''} < 0$ ；当 $x \in (0, 1) \cup (1, + \infty)$ 时 $y^{''} > 0$ ；拐点为 $(0, 0)$ 。

垂直渐近线为 $x = 1$ ，斜渐近线为 $y = x + 2$ 。

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函数定义域为 $R ∖ {1}$ 。求导得

y^{'} = \frac{x ^{2} ( x - 3 )}{( x - 1 ) ^{3}} .

由符号可知，函数在 $(- \infty, 1)$ 与 $(3, + \infty)$ 上递增，在 $(1, 3)$ 上递减。 $x = 0$ 虽使导数为零，但导数不变号，故不是极值点。

在 $x = 3$ 处导数由负变正，取得极小值 $y (3) = \frac{27}{4}$ ；没有极大值。

对第一问的一阶导数继续求导得

y^{''} = \frac{6 x}{( x - 1 ) ^{4}} .

分母在定义域内恒正，所以 $y^{''} < 0$ 的区间是 $(- \infty, 0)$ ， $y^{''} > 0$ 的区间是 $(0, 1)$ 与 $(1, + \infty)$ 。

二阶导数在 $x = 0$ 两侧变号，且函数在该点连续，故拐点为 $(0, 0)$ 。 $x = 1$ 不在定义域内，不是拐点。

当 $x \to 1$ 时，分子趋于 $1$ ，分母 $(x - 1)^{2} \to 0^{+}$ ，所以 $x = 1$ 是垂直渐近线。

多项式除法给出

\frac{x ^{3}}{( x - 1 ) ^{2}} = x + 2 + \frac{3 x - 2}{( x - 1 ) ^{2}} .

当 $x \to \pm \infty$ 时余项趋于零，故斜渐近线为 $y = x + 2$ 。