增区间为$(-\infty ,1)\cup (3,+\infty )$；减区间为$(1,3)$；在$x=3$处取得极小值$\frac{27}{4}$，无极大值。

当$x\in (-\infty ,0)$时$y^{\prime \prime }<0$；当$x\in (0,1)\cup (1,+\infty )$时$y^{\prime \prime }>0$；拐点为$(0,0)$。

垂直渐近线为$x=1$，斜渐近线为$y=x+2$。

函数定义域为 $\mathbb{R}\setminus \{1\}$。求导得

由符号可知，函数在 $(-\infty ,1)$ 与 $(3,+\infty )$ 上递增，在 $(1,3)$ 上递减。$x=0$ 虽使导数为零，但导数不变号，故不是极值点。

在 $x=3$ 处导数由负变正，取得极小值 $y(3)=\frac{27}{4}$；没有极大值。

对第一问的一阶导数继续求导得

分母在定义域内恒正，所以 $y^{\prime \prime }<0$ 的区间是 $(-\infty ,0)$，$y^{\prime \prime }>0$ 的区间是 $(0,1)$ 与 $(1,+\infty )$。

二阶导数在 $x=0$ 两侧变号，且函数在该点连续，故拐点为 $(0,0)$。$x=1$ 不在定义域内，不是拐点。

当 $x\to 1$ 时，分子趋于 $1$，分母 $(x-1{)}^2\to 0^{+}$，所以 $x=1$ 是垂直渐近线。

多项式除法给出

当 $x\to \pm \infty$ 时余项趋于零，故斜渐近线为 $y=x+2$。