1991 · 数学三 · 第 7 题 · 选择题

设函数

f (x) = {x^{2}, 2 - x, 0 \leq x \leq 1 1 < x \leq 2

，记

F (x) = \int_{0}^{x} f (t) d t

，

0 \leq x \leq 2

，则（　　）。

A
$F (x) = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{x ^{3}}{3}, \frac{1}{3} + 2 x - \frac{x ^{2}}{2}, 0 \leq x \leq 1 1 < x \leq 2$
B
$F (x) = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{x ^{3}}{3}, - \frac{7}{6} + 2 x - \frac{x ^{2}}{2}, 0 \leq x \leq 1 1 < x \leq 2$
正确答案
C
$F (x) = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{x ^{3}}{3}, \frac{x ^{3}}{3} + 2 x - \frac{x ^{2}}{2}, 0 \leq x \leq 1 1 < x \leq 2$
D
$F (x) = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{x ^{3}}{3}, 2 x - \frac{x ^{2}}{2}, 0 \leq x \leq 1 1 < x \leq 2$

答案

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当 $0 \leq x \leq 1$ 时， $F (x) = \int_{0}^{x} t^{2} d t = \frac{x ^{3}}{3}$ 。

当 $1 < x \leq 2$ 时，

F (x) = \int_{0}^{1} t^{2} d t + \int_{1}^{x} (2 - t) d t = - \frac{7}{6} + 2 x - \frac{x ^{2}}{2} .

因而选择 B。