矩阵为分块对角形式。记左上二阶块为 $C=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& a\end{array}\right)$，则 $A$ 的三个特征值为 $b$ 及 $C$ 的两个特征值 ${\lambda }_1,{\lambda }_2$。$C$ 是实对称矩阵，这两个特征值都是实数，且

若 $b>0$，为了恰有一正两负，必须 ${\lambda }_1,{\lambda }_2$ 均负，于是同时需要 $a-4>0$ 和 $1+a<0$，即 $a>4$ 且 $a<-1$，矛盾。若 $b=0$，出现零特征值，也不符合题意。
所以必须 $b<0$。此时其余两个特征值应一正一负，等价于 $a-4<0$，即 $a<4$。反之，$a<4,b<0$ 确实给出一正两负，因此选 D。
当 $a>4$ 时，二阶块的两个特征值乘积为正、和为正，均为正数，故 A、C 两项均不符；当 $a<4,b>0$ 时共有两正一负，B 也不符。边界 $a=4$ 会出现零特征值，不能取等号。