1994 · 数学三 · 第 16 题 · 解答题

对 $x > 0$ ，原方程等价于

k = φ (x) := \frac{1}{x} - \frac{1}{x ^{3}} .

有

φ^{'} (x) = \frac{3 - x ^{2}}{x ^{4}} .

故 $φ$ 在 $(0, 3)$ 上递增，在 $(3, + \infty)$ 上递减，并且

x \to 0^{+} lim φ (x) = - \infty, φ (3) = \frac{2}{3 3}, x \to + \infty lim φ (x) = 0^{+} .

因此： $k < 0$ 时恰有一个交点； $k = 0$ 时唯一解为 $x = 1$ ； $0 < k < \frac{2}{3 3}$ 时有两个交点； $k = \frac{2}{3 3}$ 时恰有一个交点；更大时无解。所求为

k \leq 0 或 k = \frac{2}{3 3} .

答案