在充分小的非零邻域内 $\cos x>0$。先求原幂函数的对数的极限

$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\ln (\cos x)}{\ln (1+x^2)}.$$

由 $\ln (\cos x)\sim -\frac{x^2}{2}$ 及 $\ln (1+x^2)\sim x^2$，得上述极限为 $-\frac{1}{2}$。

由指数函数的连续性，原极限为 ${\mathrm{e}}^{-\frac{1}{2}}$。