1998 · 数学三 · 第 15 题 · 解答题

设有两条抛物线

y = n x^{2} + \frac{1}{n}

和

y = (n + 1) x^{2} + \frac{1}{n + 1}

，记它们交点横坐标的绝对值为

a_{n}

。完成下列各问：

答案

$S_{n} = \frac{4}{3 [ n ( n + 1 ) ] ^{\frac{3}{2}}}$

$\frac{4}{3}$

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令两抛物线纵坐标相等，得 $x^{2} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1} = \frac{1}{n ( n + 1 )}$ ，故 $a_{n} = \frac{1}{n ( n + 1 )}$ 。

在 $[- a_{n}, a_{n}]$ 上，第一条抛物线与第二条抛物线之差为 $a_{n}^{2} - x^{2}$ 。因此

S_{n} = \int_{- a_{n}}^{a_{n}} (a_{n}^{2} - x^{2}) d x = \frac{4}{3} a_{n}^{3} = \frac{4}{3 [ n ( n + 1 ) ] ^{\frac{3}{2}}} .

由第一问， $\frac{S _{n}}{a _{n}} = \frac{4}{3 n ( n + 1 )} = \frac{4}{3} (\frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1})$ 。

故部分和逐项相消， $n = 1 \sum \infty \frac{S _{n}}{a _{n}} = \frac{4}{3}$ 。