（1）过点$(0,0)$给出$f(0)=0$。在$(1,2)$处与$y=2^x$相切，既要求$f(1)=2$，也要求切线斜率相同，即$f^{\prime }(1)=(2^x\ln 2){|}_{x=1}=2\ln 2$。
（2）利用$f^{\prime \prime }(x)\mathrm{d}x=\mathrm{d}{f}^{\prime }(x)$分部积分，得到

题设二阶连续可导保证分部积分适用。下限处的边界项为$0\cdot f^{\prime }(0)=0$，因此不需要知道$f^{\prime }(0)$。