2014 · 数学一 · 第 20 题 · 解答题

设矩阵

A = 101 - 2 12 3 - 1 0 - 4 1 - 3

，

E

为3阶单位矩阵。

(1) 求方程组 $A x = 0$ 的一个基础解系；
(2) 求满足 $A B = E$ 的所有矩阵 $B$ 。

答案

第 1 问

$(- 1, 2, 3, 1)^{T}$ 。

第 2 问

$B = 2 - 1 - 1 0 6 - 3 - 4 0 - 1 110 + (- 1, 2, 3, 1)^{T} (k_{1}, k_{2}, k_{3})$ ， $k_{1}, k_{2}, k_{3} \in R$ 。

查看解析展开

第 1 问

对 $A$ 作 $r_{3} \leftarrow r_{3} - r_{1}$ ，再作 $r_{3} \leftarrow r_{3} - 4 r_{2}$ ，得到

A ⟶ 100 - 2 10 3 - 1 1 - 4 1 - 3 .

继续作 $r_{2} \leftarrow r_{2} + r_{3}$ 、 $r_{1} \leftarrow r_{1} - 3 r_{3}$ ，再作 $r_{1} \leftarrow r_{1} + 2 r_{2}$ ，得行最简形

A ⟶ 100010001 1 - 2 - 3 .

所以 $r (A) = 3$ ，齐次解空间维数为 $4 - 3 = 1$ 。取自由未知量 $x_{4} = t$ ，得 $x_{1} = - t, x_{2} = 2 t, x_{3} = 3 t$ ，故一个基础解系为 $ξ = (- 1, 2, 3, 1)^{T}$ 。代入原矩阵，三个分量分别为 $- 1 - 4 + 9 - 4 = 0$ 、 $2 - 3 + 1 = 0$ 、 $- 1 + 4 - 3 = 0$ 。

第 2 问

$B$ 必为 $4 \times 3$ 矩阵，按列写成 $B = (b_{1}, b_{2}, b_{3})$ ，则 $A B = E$ 等价于 $A b_{i} = e_{i}$ ， $i = 1, 2, 3$ 。对 $(A, E)$ 作第一问相同的行变换，三个右端同时变换，得到

(A, E) ⟶ 100010001 1 - 2 - 3 2 - 1 - 1 6 - 3 - 4 - 1 11 .

每列令第四个未知量为零，可取特解

η_{1} = (2, - 1, - 1, 0)^{T}, η_{2} = (6, - 3, - 4, 0)^{T}, η_{3} = (- 1, 1, 1, 0)^{T} .

结合第一问的基础解系，三列分别为 $b_{i} = η_{i} + k_{i} ξ$ 。因此全部矩阵为

B = 2 - 1 - 1 0 6 - 3 - 4 0 - 1 110 + - 1 231 (k_{1}, k_{2}, k_{3}),

其中 $k_{1}, k_{2}, k_{3} \in R$ ，三参数相互独立。三个特解依次满足 $A η_{i} = e_{i}$ ，且 $A ξ = 0$ ，故任意这些参数都满足 $A B = E$ ；反之每列非齐次解都由相应特解加齐次通解给出，因而没有遗漏。