特征值 $\lambda =3$ 的特征向量为 $t(1,1,1{)}^T(t\ne 0)$；特征值 $\lambda =0$ 的特征向量为 $u{\alpha }_1+v{\alpha }_2\ne 0$

可取 $Q=\left(\begin{array}{ccc}\frac{1}{\sqrt{2}}& -\frac{1}{\sqrt{6}}& \frac{1}{\sqrt{3}}\\ 0& \frac{2}{\sqrt{6}}& \frac{1}{\sqrt{3}}\\ -\frac{1}{\sqrt{2}}& -\frac{1}{\sqrt{6}}& \frac{1}{\sqrt{3}}\end{array}\right)$，$\Lambda =\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 3\end{array}\right)$

$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& 1& 1\\ 1& 1& 1\end{array}\right)$，$(A-\frac{3}{2}E{)}^6=\frac{729}{64}E$

令 $e=(1,1,1{)}^T$。各行和为 $3$ 给出 $Ae=3e$，所以 $3$ 是特征值，且其特征空间包含 $\mathrm{span}\{e\}$。

题设给出 $A{\alpha }_1=A{\alpha }_2=0$。向量 ${\alpha }_1,{\alpha }_2$ 线性无关，且均满足 $e^T{\alpha }_i=0$，故 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,e$ 三者线性无关，因此它们构成一组特征向量基。

故特征值为 $3$ 和 $0$，其中 $E_3=\mathrm{span}\{e\}$，$E_0=\mathrm{span}\{{\alpha }_1,{\alpha }_2\}$。

使用第一问得到的特征子空间。取 $q_1=\frac{1}{\sqrt{2}}(1,0,-1{)}^T$，$q_2=\frac{1}{\sqrt{6}}(-1,2,-1{)}^T$，$q_3=\frac{1}{\sqrt{3}}(1,1,1{)}^T$。三者两两正交且均为单位向量。

以 $q_1,q_2,q_3$ 为列组成 $Q$，则 $Q$ 为正交矩阵；对应特征值为 $0,0,3$，故 $Q^{T}AQ=\mathrm{diag}(0,0,3)=\Lambda$。

沿用第一问的向量 $e$ 及特征子空间。由 $A$ 在 $\mathrm{span}\{e\}$ 上的特征值为 $3$，在 $e^{\perp }$ 上的特征值为 $0$，且这两个子空间直和为 ${\mathbb{R}}^3$，可得

。

矩阵 $A-\frac{3}{2}E$ 的特征值为 $\frac{3}{2},-\frac{3}{2},-\frac{3}{2}$。六次方后三个特征值均为 $(\frac{3}{2}{)}^6=\frac{729}{64}$，所以 $(A-\frac{3}{2}E{)}^6=\frac{729}{64}E$。