1987 · 数学三 · 第 7 题 · 解答题

设

{x = 5 (t - sin t) y = 5 (1 - cos t)

。

答案

$\frac{sin t}{1 - cos t} = cot \frac{t}{2}$

$- \frac{1}{5 ( 1 - cos t ) ^{2}}$

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由参数方程得

\frac{d x}{d t} = 5 (1 - cos t), \frac{d y}{d t} = 5 sin t .

当 $1 - cos t \neq = 0$ 时，

\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{d y}{d t}}{\frac{d x}{d t}} = \frac{sin t}{1 - cos t} = cot \frac{t}{2} .

在第一问的适用范围 $t \neq = 2 k π$ （ $k \in Z$ ）内，沿用一阶导数 $\frac{d y}{d x} = \frac{sin t}{( 1 - cos t )}$ 。先对 $t$ 求导：

\frac{d}{d t} (\frac{sin t}{1 - cos t}) = - \frac{1}{1 - cos t} .

再除以 $\frac{d x}{d t} = 5 (1 - cos t)$ ，得到

\frac{d ^{2} y}{d x ^{2}} = \frac{\frac{d ( \frac{d y}{d x} )}{d t}}{\frac{d x}{d t}} = - \frac{1}{5 ( 1 - cos t ) ^{2}} .