1993 · 数学一 · 第 4 题 · 填空题

设数量场

u = ln x^{2} + y^{2} + z^{2}

，则

div (grad u) =

。

答案

$\frac{1}{x ^{2} + y ^{2} + z ^{2}}$

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记 $r = x^{2} + y^{2} + z^{2}$ ，则 $u = ln r$ 。对三维径向函数， $Δ u = u_{r r} + \frac{2}{r} u_{r}$ 。

因 $u_{r} = \frac{1}{r}$ 、 $u_{r r} = - \frac{1}{r ^{2}}$ ，故 $div (grad u) = Δ u = \frac{1}{r ^{2}} = \frac{1}{x ^{2} + y ^{2} + z ^{2}}$ 。