2006 · 数学一 · 第 2 题 · 填空题

微分方程

y^{'} = \frac{y ( 1 - x )}{x}

的通解是。

答案

$y = C x e^{- x}, x \neq = 0$

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在不跨过 $x = 0$ 的区间上，非零解可分离变量：

\frac{d y}{y} = (\frac{1}{x} - 1) d x .

积分得 $ln ∣ y ∣ = ln ∣ x ∣ - x + C$ ，故通解为 $y = C x e^{- x}$ ，其中 $x \neq = 0$ ； $C = 0$ 包含零解。