在 $x=0$ 的充分小邻域内底数为正。记 $g(x)=(1+x{\mathrm{e}}^x{)}^{\frac{1}{x}}$（$x\ne 0$），先求 $\ln g(x)=\frac{\ln (1+x{\mathrm{e}}^x)}{x}$ 的极限。

写成 $\frac{\ln (1+x{\mathrm{e}}^x)}{x{\mathrm{e}}^x}\cdot {\mathrm{e}}^x$，两因子分别趋于 $1$ 和 $1$，所以 $\underset{x\to 0}{\lim }\ln g(x)=1$。由指数函数的连续性，原极限为 $\underset{x\to 0}{\lim }g(x)=\mathrm{e}$。