第 1 空：

由 $f(t)=\sin t$ 及复合函数关系，得 $\sin \varphi (x)=1-x^2$。在右端属于 $[-1,1]$ 时，记 $\alpha (x)=\arcsin (1-x^2)\in [-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}]$。

由 $\sin u=\sin \alpha$ 的全部实解，得 $u=\alpha +2k\pi$ 或 $u=\pi -\alpha +2k\pi$，其中 $k\in \mathbb{Z}$。合并两类可写为 $\varphi (x)=n(x)\pi +(-1{)}^{n(x)}\arcsin (1-x^2)$，其中 $n(x)\in \mathbb{Z}$。

题设未限制 $\varphi$ 的值域或连续性，故 $n(x)$ 可以在定义域内逐点任意取整数。上述每种选取均满足原方程，且涵盖全部实值解；取 $n(x)=0$ 所得的反正弦主值式只是其中一种。

第 2 空：

实值解存在当且仅当 $-1\le 1-x^2\le 1$。其中右侧不等式恒成立，左侧等价于 $x^2\le 2$，所以必须有 $x\in [-\sqrt{2},\sqrt{2}]$。

在此闭区间上，$\arcsin (1-x^2)$ 处处有实值，从而前一个空的通式均可定义。端点 $x=\pm \sqrt{2}$ 对应正弦值 $-1$，同样允许；区间外不可能有实值解。因此自然最大实定义域为 $[-\sqrt{2},\sqrt{2}]$。