A 正确。证明其逆否命题：若 $|r|<R$，则原幂级数在 $r$ 处绝对收敛，即 $\sum |a_n{r}^n|$ 收敛。其偶数项子级数 $\sum |a_{2n}{r}^{2n}|$ 的部分和非减且被原绝对值级数的和控制，因此收敛，故 $\sum a_{2n}{r}^{2n}$ 也收敛。逆否即得偶次子级数发散时必有 $|r|\ge R$。
B、C 均不成立。取奇数下标的 $a_n=1$，偶数下标的 $a_n=0$，原幂级数为 $x+x^3+x^5+\cdots$，半径为 $1$，而偶次子级数对所有 $r$ 恒为零。取 $r=2$，偶次子级数收敛但 $|r|>R$，否定 B；同时 $|r|\ge R$ 却未发散，否定 C。
D 不成立。取 $a_n=\frac{1}{n}$，原级数半径为 $1$。取 $r=1$，虽然 $|r|\le R$，但

发散。因此选 A。边界处不能直接套用区间内部的绝对收敛结论。