2012 · 数学三 · 第 12 题 · 填空题

由

y = \frac{4}{x}

、

y = x

及

y = 4 x

在第一象限围成图形的面积为。

答案

$4 ln 2$

查看解析展开

两条直线交于 $(0, 0)$ ，双曲线 $y = \frac{4}{x}$ 与 $y = 4 x$ 、 $y = x$ 在第一象限分别交于 $(1, 4)$ 、 $(2, 2)$ 。区域是由这三点对应边界围成的曲边三角形。
竖直截线的下边界始终为 $y = x$ ；当 $0 \leq x \leq 1$ 时上边界为 $y = 4 x$ ，当 $1 \leq x \leq 2$ 时上边界为 $y = \frac{4}{x}$ ，故

S = \int_{0}^{1} (4 x - x) d x + \int_{1}^{2} (\frac{4}{x} - x) d x = \frac{3}{2} + [4 ln x - \frac{x ^{2}}{2}]_{1}^{2} = 4 ln 2.

横向截线同样需要分段。对 $0 \leq y \leq 2$ ，左右边界为 $x = \frac{y}{4}$ 、 $x = y$ ；对 $2 \leq y \leq 4$ ，左右边界为 $x = \frac{y}{4}$ 、 $x = \frac{4}{y}$ ，因此

S = \int_{0}^{2} (y - \frac{y}{4}) d y + \int_{2}^{4} (\frac{4}{y} - \frac{y}{4}) d y = \frac{3}{2} + [4 ln y - \frac{y ^{2}}{8}]_{2}^{4} = 4 ln 2.