令 $x=\tan \theta$，取 $-\frac{\pi }{2}<\theta <\frac{\pi }{2}$，则 $\sqrt{x^2+1}=\sec \theta$、$\mathrm{d}x={\sec }^2\theta \mathrm{d}\theta$。原积分化为

再令 $u=\sin \theta$，得到 $\arctan u+C$。由 $u=\sin \theta =\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$，故结果为 $\arctan \frac{x}{\sqrt{x^2+1}}+C$。