1991 · 数学一 · 第 8 题 · 选择题

已知级数

n = 1 \sum \infty (- 1)^{n - 1} a_{n} = 2

，

n = 1 \sum \infty a_{2 n - 1} = 5

，则级数

n = 1 \sum \infty a_{n}

等于（　　）。

A
$3$
B
$7$
C
$8$
正确答案
D
$9$

答案

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记有限部分和 $O_{n} = k = 1 \sum n a_{2 k - 1}$ 、 $E_{n} = k = 1 \sum n a_{2 k}$ 。由题设， $O_{n} \to 5$ ，且交错级数的偶数部分和 $O_{n} - E_{n} \to 2$ ，所以 $E_{n} = O_{n} - (O_{n} - E_{n}) \to 3$ 。

原级数的偶数部分和 $O_{n} + E_{n} \to 8$ ，奇数部分和 $O_{n} + E_{n - 1} \to 8$ ，故原级数收敛且和为 $8$ ，选 C。