（1）换元化为线性方程。原方程只含 $2y{y}^{\prime }$ 与 $y^2$，令 $u=y^2$，则 $u^{\prime }=2y{y}^{\prime }$，方程变为 $u^{\prime }-u=2$。乘积分因子 ${\mathrm{e}}^{-x}$，得

因此 $u=C{\mathrm{e}}^x-2$，即 $y^2=C{\mathrm{e}}^x-2$。

（2）利用初值并选择分支。代入 $y(0)=1$ 得 $1=C-2$，故 $C=3$。原方程中若 $y=0$，则左端为 $-2$，不可能等于零，因此连续解不能经过零点。由于初值为正，应取

下界由 $3{\mathrm{e}}^x-2>0$ 得到。

（3）回代核对。将 $y^2=3{\mathrm{e}}^x-2$ 求导得 $2y{y}^{\prime }=3{\mathrm{e}}^x=y^2+2$，且 $y(0)=1$，故方程和初值均满足。

将原方程写为 $2y{y}^{\prime }=y^2+2$。因 $y^2+2>0$，分离变量得到 $\frac{2y\mathrm{d}y}{(y^2+2)}=\mathrm{d}x$。令 $v=y^2+2$，则 $\mathrm{d}v=2y\mathrm{d}y$，积分得 $\ln (y^2+2)=x+C_1$，即 $y^2+2=C{\mathrm{e}}^x$，其中 $C>0$。代入 $y(0)=1$ 得 $C=3$。

原方程不允许 $y=0$，结合连续性及正初值，取正分支 $y=\sqrt{3{\mathrm{e}}^x-2}$，其含初值的最大存在区间为 $x>\ln (\frac{2}{3})$。