令 $t=x-1$，则 $t\in [-\frac{1}{2},1]$。在 $[-\frac{1}{2},\frac{1}{2})$ 上，$f(t)=t{\mathrm{e}}^{t^2}$；在 $[\frac{1}{2},1]$ 上，$f(t)=-1$，端点的单点取值不影响积分。

因此原积分为 ${\int }_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}}t{\mathrm{e}}^{t^2}\mathrm{d}t-{\int }_{\frac{1}{2}}^{1}1\mathrm{d}t$。第一项的被积函数为奇函数，故其值为 $0$，结果为 $-\frac{1}{2}$。