（1）求 $y(0)$。令 $x=0$，得 $e^y+y=1$。左边关于 $y$ 的导数为 $e^y+1>0$，严格递增，且 $y=0$ 满足方程，所以 $y(0)=0$。原方程关于 $y$ 的偏导数为 $-1-e^y\ne 0$，由光滑隐函数定理，局部隐函数可反复求导。
（2）一次求导得 $2x-y^{\prime }=e^y{y}^{\prime }$，代入 $(0,0)$，有 $-y^{\prime }=y^{\prime }$，故 $y^{\prime }(0)=0$。
（3）再求导，乘积和链式法则给出

代入 $y=0,y^{\prime }=0$，得到 $2-y^{\prime \prime }=y^{\prime \prime }$，所以 $y^{\prime \prime }(0)=1$。

先由 $e^y+y=1$ 的严格单调性确定 $y(0)=0$。一次求导后有 $y^{\prime }=\frac{2x}{(1+e^y)}$，分母恒正。使用商的求导法则：

在 $x=0,y=0$ 处，分子为 $4$，分母为 $4$，故 $y^{\prime \prime }(0)=1$。