记 $\Lambda =\mathrm{diag}(0,1,2)$。由 $P^{-1}AP=\Lambda$，左乘 $P$ 得 $AP=P\Lambda$。按列比较，得到 $A{\alpha }_1=0,A{\alpha }_2={\alpha }_2,A{\alpha }_3=2{\alpha }_3$。
利用线性性，

故选 B。由于 $P$ 可逆，三个列向量线性无关，在这组基下的表示唯一；所求向量的系数为 $(0,1,2)$，其余三个选项的系数均不同，不能与它相等。尤其不能漏掉第一个特征值为 $0$，即 $A{\alpha }_1=0$。