（1）函数定义域为 $x<\frac{1}{2}$，含零点邻域。先求前三阶导数：$y^{\prime }=-2(1-2x{)}^{-1}$，$y^{\prime \prime }=-2^2(1-2x{)}^{-2}$，$y^{\prime \prime \prime }=-2^3\cdot 2(1-2x{)}^{-3}$，由此猜得 $y^{(n)}=-2^n(n-1)!(1-2x{)}^{-n}$。
（2）用归纳法验证。$n=1$ 成立；若第 $n$ 阶成立，再求导时乘上 $(-n)(-2)$ 并将幂次减一，得到 $y^{(n+1)}=-2^{n+1}n!(1-2x{)}^{-(n+1)}$，故对所有正整数成立。
（3）代入 $x=0$，所求为 $-2^n(n-1)!$。内层的负号与幂次求导的负号相消，通式的符号始终为负。

在 $|x|<\frac{1}{2}$ 内，利用对数的幂级数，有 $\ln (1-2x)=-\sum _{k=1}^{\infty }(\frac{2^k}{k})x^k$。幂级数在收敛区间内可逐项求导，其 $x^n$ 系数为 $-\frac{2^n}{n}$，故 $y^{(n)}(0)=n!(-\frac{2^n}{n})=-2^n(n-1)!$，其中 $n\ge 1$。