2006 · 数学一 · 第 15 题 · 解答题

设区域

D = {(x, y) ∣ x^{2} + y^{2} \leq 1, x \geq 0}

，计算二重积分

I = \iint_{D} \frac{1 + x y}{1 + x ^{2} + y ^{2}} d x d y

。

答案

$\frac{π}{2} ln 2$

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区域 $D$ 是单位圆的右半圆，取 $0 \leq r \leq 1$ ， $- \frac{π}{2} \leq θ \leq \frac{π}{2}$ 。代入 $x = r cos θ, y = r sin θ$ 得

I = \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \int_{0}^{1} \frac{1 + r ^{2} cos θ sin θ}{1 + r ^{2}} r d r d θ .

对称性给出 $\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} cos θ sin θ d θ = 0$ ，所以

I = π \int_{0}^{1} \frac{r}{1 + r ^{2}} d r = \frac{π}{2} ln 2.