在定义域 $x\ne y$ 内，按商法则及链式法则分别求偏导：

相加得 $f_x+f_y=\frac{{\mathrm{e}}^x(x-y)}{(x-y{)}^2}=\frac{{\mathrm{e}}^x}{(x-y)}=f$，故选 D。
其余选项不恒成立：$f_x-f_y=\frac{{\mathrm{e}}^x(x-y-2)}{(x-y{)}^2}$ 仅在 $x-y=2$ 时为零，排除 A；$f_x+f_y=f\ne 0$，排除 B；而 $f_x-f_y-f=-\frac{2{\mathrm{e}}^x}{(x-y{)}^2}\ne 0$，排除 C。