（1）点 $(0,0)$ 满足方程，因为 $\tan (\frac{\pi }{4})=e^0=1$。设 $F(x,y)=\tan (x+y+\frac{\pi }{4})-e^y$，其在该点邻域光滑，且 $F_y(0,0)=2-1=1\ne 0$，故局部确定可导隐函数。
（2）将 $y$ 视为 $x$ 的函数，方程两边求导：

代入 $(0,0)$，由 ${\sec }^2(\frac{\pi }{4})=2$ 得 $2(1+y^{\prime })=y^{\prime }$，所以切线斜率为 $y^{\prime }(0)=-2$。
（3）通过原点的切线为 $y=-2x$，也可写成 $2x+y=0$。

对原方程取微分，得 ${\sec }^2(x+y+\frac{\pi }{4})(dx+dy)=e^{y}dy$。在 $(0,0)$ 处变为 $2(dx+dy)=dy$，即 $2dx+dy=0$。因此切线方向满足 $\frac{dy}{dx}=-2$，过原点的切线为 $y=-2x$。