有理化与比较判别法。记 $d_n=\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}$，通分并对分子有理化得

因此 $0<d_n<\frac{1}{(2n^{\frac{3}{2}})}$。对任意常数 $k$，$|\sin (n+k)|\le 1$，故

$p=\frac{3}{2}$ 的 $p$ 级数收敛，比较判别法说明原级数绝对收敛，选 A。

直接裂项比较。由 $d_n=\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}>0$，有

又 $|d_n\sin (n+k)|\le d_n$，故绝对值级数被一个收敛正项级数控制，所以对每个常数 $k$ 均绝对收敛，选 A。