（1）由$f(-x)=-f(x)$两端求导，得$-f^{\prime }(-x)=-f^{\prime }(x)$，即$f^{\prime }$是偶函数。又由余弦的偶性，$\cos f(-x)=\cos [-f(x)]=\cos f(x)$，故$h_1(x)=\cos f(x)+f^{\prime }(x)$也是偶函数。
（2）对连续偶函数$h$，令$H(x)={\int }_0^{x}h(t)\mathrm{d}t$。换元$t=-s$得

所以偶函数从$0$出发的变限积分是奇函数。应用于$h_1$，知A正确。
（3）排除其余选项时，不能只说“已经是奇函数，所以不是偶函数”，因为零函数兼具两种奇偶性。取满足题设的$f(t)=t$，则A、B中的积分为$\sin x+x$，它在$x=1$处非零，故不是偶函数，B不成立。
同一例子中，C、D中的积分为

其奇部$x\cos 1$与偶部$\frac{x^2}{2}$均不恒为零，因此既不是奇函数也不是偶函数，C、D均不成立。故选A。