令 $t=1+x$，原积分化为 $I={\int }_1^{+\infty }\frac{\ln t}{t^2}dt$。在有限区间分部积分，取 $u=\ln t$、$dv=\frac{dt}{t^2}$，得

$$\begin{array}{rl}{\int }_1^b\frac{\ln t}{t^2}dt& ={\left[-\frac{\ln t}{t}\right]}_1^b+{\int }_1^b\frac{dt}{t^2}\\ & =-\frac{\ln b}{b}+1-\frac{1}{b}.\end{array}$$

由 $\frac{\ln b}{b}\to 0$ 及 $\frac{1}{b}\to 0$，所求积分收敛且等于 $1$。

也可直接取 $dv=\frac{dx}{(1+x{)}^2}$，$v=-\frac{1}{(1+x)}$，分部积分得到

$$I={\left[-\frac{\ln (1+x)}{1+x}\right]}_0^{+\infty }+{\int }_0^{+\infty }\frac{dx}{(1+x{)}^2}=0+1=1.$$

其中无穷端边界项为零由 $\frac{\ln (1+x)}{(1+x)}\to 0$ 保证，余下积分的原函数为 $-\frac{1}{(1+x)}$。