1988 · 数学三 · 第 21 题 · 解答题

玻璃杯成箱出售，每箱

20

只，假设各箱含

0, 1, 2

只残次品的概率相应为

0.8, 0.1, 0.1

。一顾客欲购一箱玻璃杯，在购买时，售货员随意取一箱，顾客开箱随机地察看

4

只；若无残次品，则买下该箱玻璃杯，否则退回。

(1) 求顾客买下该箱的概率 $α$ ；
(2) 求在顾客买下的一箱中，确实没有残次品的概率 $β$ 。

答案

第 1 问

$α = \frac{448}{475}$

第 2 问

$β = \frac{95}{112}$

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第 1 问

设箱中残次品数为 $N$ ，买下事件为 $E$ 。条件通过概率分别为 $P (E ∣ N = 0) = 1$ ， $P (E ∣ N = 1) = \frac{( 4 19 )}{( 4 20 )} = \frac{4}{5}$ ， $P (E ∣ N = 2) = \frac{( 4 18 )}{( 4 20 )} = \frac{12}{19}$ 。

由全概率公式，

α = P (E) = 0.8 + 0.1 \cdot \frac{4}{5} + 0.1 \cdot \frac{12}{19} = \frac{448}{475} .

第 2 问

沿用第一问的 $N$ （箱内次品数）与 $E$ （顾客买下该箱）及 $P (E) = \frac{448}{475}$ 。所求为 $P (N = 0∣ E) = P (N = 0) \frac{P ( E ∣ N = 0 )}{P ( E )}$ ，所以

β = \frac{0.8}{\frac{448}{475}} = \frac{95}{112} .