区域 $D$ 是第一象限内半径从 $1$ 到 $2$ 的四分之一圆环，关于 $y=x$ 对称。交换 $x,y$，所求积分可写为

在 $D$ 上 $x+y\ge \sqrt{x^2+y^2}\ge 1$，分母恒非零。将此式与原式相加，得

令 $x=r\cos \theta$、$y=r\sin \theta$，则 $0\le \theta \le \frac{\pi }{2}$、$1\le r\le 2$，故 $2I=\frac{\pi }{2}{\int }_1^{2}r\sin (\pi r)\mathrm{d}r$。分部积分得

因此 $2I=-\frac{3}{2}$，即 $I=-\frac{3}{4}$。