$\hat{\theta }=2\overline{X}$

$D(\hat{\theta })=\frac{{\theta }^2}{5n}$

总体一阶矩为 $E(X)=\frac{6}{{\theta }^3}{\int }_0^{\theta }{x}^2(\theta -x)dx=\frac{\theta }{2}$。

令总体一阶矩等于样本一阶原点矩 $\overline{X}$，得到矩估计量 $\hat{\theta }=2\overline{X}$。

由第一问知总体一阶矩及矩估计量。总体二阶矩为 $E(X^2)=\frac{6}{{\theta }^3}{\int }_0^{\theta }{x}^3(\theta -x)dx=\frac{3{\theta }^2}{10}$，故 $D(X)=\frac{3{\theta }^2}{10}-\frac{{\theta }^2}{4}=\frac{{\theta }^2}{20}$。

因为 $\hat{\theta }=2\overline{X}$，所以 $D(\hat{\theta })=4D(\overline{X})=\frac{4}{n}D(X)=\frac{{\theta }^2}{5n}$。