2014 · 数学一 · 第 14 题 · 填空题

设总体

X

的概率密度为

f (x; θ) = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{2 x}{3 θ ^{2}}, 0, θ < x < 2 θ, 其他,

，其中

θ

是未知参数，

X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n}

为来自总体

X

的简单样本。若

c i = 1 \sum n X_{i}^{2}

是

θ^{2}

的无偏估计，则

c =

。

答案

$\frac{2}{5 n}$ 。

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密度支撑区间非空要求 $θ > 0$ 。直接计算二阶原点矩：

E (X^{2}) = \int_{θ}^{2 θ} x^{2} \frac{2 x}{3 θ ^{2}} d x = \frac{2}{3 θ ^{2}} [\frac{x ^{4}}{4}]_{θ}^{2 θ} = \frac{5}{2} θ^{2} .

样本与总体同分布，故 $E (c i = 1 \sum n X_{i}^{2}) = c n E (X^{2}) = \frac{5 c n}{2} θ^{2}$ 。无偏性要求该式对每个 $θ > 0$ 都等于 $θ^{2}$ ，于是 $\frac{5 c n}{2} = 1$ ，得 $c = \frac{2}{( 5 n )}$ 。