令 $g(x)=\ln \left(\frac{2+\cos x}{3}\right)$。由 $\cos x=1-\frac{x^2}{2}+O(x^4)$，有 $\frac{2+\cos x}{3}=1-\frac{x^2}{6}+O(x^4)$，从而 $g(x)=-\frac{x^2}{6}+O(x^4)$。

因此 $xg(x)=-\frac{x^3}{6}+O(x^5)$。利用 ${\mathrm{e}}^u-1=u+O(u^2)$，得到 ${\left(\frac{2+\cos x}{3}\right)}^x-1={\mathrm{e}}^{xg(x)}-1=-\frac{x^3}{6}+O(x^5)$。

两边除以 $x^3$，令 $x\to 0$，所求极限为 $-\frac{1}{6}$。