1990 · 数学二 · 第 16 题 · 解答题

设切点为 $T (t^{2} + 2, t)$ ，其中 $t > 0$ 。曲线在该点的斜率为 $\frac{1}{( 2 t )}$ ，故切线为

y - t = \frac{x - t ^{2} - 2}{2 t} .

它经过 $P (1, 0)$ ，所以 $- t = - \frac{( t ^{2} + 1 )}{( 2 t )}$ ，即 $t^{2} = 1$ 。由 $t > 0$ 得 $t = 1$ ，切线为

y = \frac{x - 1}{2} .

顶点处的竖直切线 $x = 2$ 不经过 $P$ ，因而没有遗漏其他切线。

切线与 $x$ 轴交于 $x = 1$ ，曲线与 $x$ 轴交于 $x = 2$ ，切点横坐标为 $3$ 。在 $2 \leq x \leq 3$ 上，

\frac{x - 1}{2} - x - 2 = \frac{( x - 2 - 1 ) ^{2}}{2} \geq 0,

因此切线位于曲线上方。

绕 $x$ 轴旋转，按 $x = 2$ 分段使用垫片法：

V = π \int_{1}^{2} (\frac{x - 1}{2})^{2} d x + π \int_{2}^{3} [(\frac{x - 1}{2})^{2} - (x - 2)] d x = π (\frac{1}{12} + \frac{1}{12}) = \frac{π}{6} .

答案