设所求方程为 $y^{\prime }+p(x)y=q(x)$。两特解之差 $Y=x^2-(x^2-{\mathrm{e}}^x)={\mathrm{e}}^x$ 满足齐次方程 $Y^{\prime }+pY=0$，即 $(1+p){\mathrm{e}}^x=0$。由于 ${\mathrm{e}}^x>0$，得 $p=-1$。

将较简单的特解 $y=x^2$ 代入，得到 $q(x)=2x-x^2$。所以所求方程为 $y^{\prime }-y=2x-x^2$。另一个特解满足

也确实成立。该方程的通解为 $y=x^2+C{\mathrm{e}}^x$，分别取 $C=0,-1$ 即得到两特解，且 $2x-x^2\not\equiv 0$，为非齐次方程。