由 $\frac{|\sin x|}{x}$ 在 $x\to 0^{+}$ 与 $x\to 0^{-}$ 时的极限分别为 $1$ 与 $-1$，可得

左右导数相等当且仅当 $f(0)=0$。因此该条件既充分又必要，选择 A。