（1）确定极限及两侧的项。$n^{\frac{1}{n}}=e^{\frac{(\ln n)}{n}}\to 1$，且 $\frac{(-1{)}^n}{n}\to 0$，所以 $a_n\to 1$。又 $a_1=2>1$，$a_2=\sqrt{2}-\frac{1}{2}<1$，后一不等式来自 $2<(\frac{3}{2}{)}^2$。
（2）夹住尾项。取 $\epsilon =\min \{a_1-1,1-a_2\}>0$。由收敛性，可取 $N\ge 2$，使 $n>N$ 时 $|a_n-1|<\epsilon$，故

（3）在有限项中取最值。前 $N$ 项包含 $a_1,a_2$，且只有有限项，必有最大值和最小值；之后每项严格介于 $a_2,a_1$ 之间，不会超过这两个有限最值。因此整个数列既有最大值又有最小值，选 A。

直接确定最值。对 $n\ge 3$，由 $(1+\frac{1}{n}{)}^n<e<3\le n$，取正的 $n$ 次方根得 $n^{\frac{1}{n}}>1+\frac{1}{n}$。所以 $a_n\ge n^{\frac{1}{n}}-\frac{1}{n}>1$。而 $a_2=\sqrt{2}-\frac{1}{2}<1<a_1=2$，最小值为 $a_2$。
为估计最大值，考察 $h(x)=x^{\frac{1}{x}}$。由 $(\ln h{)}^{\prime }=\frac{(1-\ln x)}{x^2}$，$h$ 在 $x>e$ 上递减，故整数 $n\ge 3$ 时 $n^{\frac{1}{n}}\le 3^{\frac{1}{3}}$；又 $\sqrt{2}<3^{\frac{1}{3}}$，可将两边六次方比较为 $8<9$。因此 $n\ge 2$ 时

最后一步由 $3<(\frac{3}{2}{)}^3$。所以最大值为 $a_1=2$，最小值为 $a_2=\sqrt{2}-\frac{1}{2}$，两者都存在，选 A。