（1）验证 D。记 $c=\frac{1}{2}$，在 $c$ 处使用带拉格朗日余项的泰勒公式。对 $x\ne c$，存在介于 $x$ 与 $c$ 之间的 ${\xi }_x$，使

若 $f^{\prime \prime }>0$，则 $f(x)>f(c)+f^{\prime }(c)(x-c)$（$x\ne c$）。两边都是连续函数，其差非负且除 $c$ 外严格为正，所以积分后仍保留严格不等号。又 ${\int }_0^1(x-\frac{1}{2})\mathrm{d}x=0$，故

因此 $f(\frac{1}{2})<0$，D 正确。这里直接积分连续的函数差，无需额外假定 $f^{\prime \prime }$ 连续。
（2）排除 A、C。A 取 $f(x)=\frac{1}{2}-x$，有 $f^{\prime }=-1<0$ 且积分为零，但 $f(\frac{1}{2})=0$；C 取 $f(x)=x-\frac{1}{2}$，同样积分为零、$f^{\prime }=1>0$，中点值仍为零。因此单独的单调性不能推出所给严格负号。
（3）排除 B。取 $f(x)=\frac{1}{12}-(x-\frac{1}{2}{)}^2$，则 $f^{\prime \prime }=-2<0$，而

但 $f(\frac{1}{2})=\frac{1}{12}>0$。事实上，将第（1）步的不等号反向可知，$f^{\prime \prime }<0$ 时中点值应严格大于积分平均值 $0$。综上选 D。