1992 · 数学三 · 第 9 题 · 选择题

设

α_{1}, α_{2}, \dots, α_{m}

均为

n

维向量，则下列结论正确的是（　　）。

若

k_{1} α_{1} + k_{2} α_{2} + \dots + k_{m} α_{m} = 0

，则

α_{1}, α_{2}, \dots, α_{m}

线性相关

若对任意一组不全为零的数

k_{1}, k_{2}, \dots, k_{m}

，都有

k_{1} α_{1} + k_{2} α_{2} + \dots + k_{m} α_{m} \neq = 0

，则

α_{1}, α_{2}, \dots, α_{m}

线性无关

若

α_{1}, α_{2}, \dots, α_{m}

线性相关，则对任意一组不全为零的数

k_{1}, k_{2}, \dots, k_{m}

，都有

k_{1} α_{1} + k_{2} α_{2} + \dots + k_{m} α_{m} = 0

若

0 α_{1} + 0 α_{2} + \dots + 0 α_{m} = 0

，则

α_{1}, α_{2}, \dots, α_{m}

线性无关

A
若 $k_{1} α_{1} + k_{2} α_{2} + \dots + k_{m} α_{m} = 0$ ，则 $α_{1}, α_{2}, \dots, α_{m}$ 线性相关
B
若对任意一组不全为零的数 $k_{1}, k_{2}, \dots, k_{m}$ ，都有 $k_{1} α_{1} + k_{2} α_{2} + \dots + k_{m} α_{m} \neq = 0$ ，则 $α_{1}, α_{2}, \dots, α_{m}$ 线性无关
正确答案
C
若 $α_{1}, α_{2}, \dots, α_{m}$ 线性相关，则对任意一组不全为零的数 $k_{1}, k_{2}, \dots, k_{m}$ ，都有 $k_{1} α_{1} + k_{2} α_{2} + \dots + k_{m} α_{m} = 0$
D
若 $0 α_{1} + 0 α_{2} + \dots + 0 α_{m} = 0$ ，则 $α_{1}, α_{2}, \dots, α_{m}$ 线性无关

答案

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向量组线性无关的定义是：对任意不全为零的系数 $k_{1}, \dots, k_{m}$ ，线性组合 $k_{1} α_{1} + \dots + k_{m} α_{m}$ 都不等于零。因此 B 正确。

A 没有要求系数不全为零；C 错把“存在一组”写成“任意一组”；D 中的零系数组合对任何向量组都成立，均不能推出相应结论。