设

若系数不全为零，令 $j$ 为满足 $c_j\ne 0$ 的最小下标。

对等式两边左乘 $A^{k-1-j}$。下标小于 $j$ 的项系数为零；下标大于 $j$ 的项都含 $A^r\alpha$（$r\ge k$），由 $A^k\alpha =0$ 均为零。因此只剩 $c_j{A}^{k-1}\alpha =0$。

这与 $c_j\ne 0$ 及 $A^{k-1}\alpha \ne 0$ 矛盾。故所有系数均为零，向量组线性无关。