由 $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(x)}{x}=1$ 得 $f(x)\to 0$。函数具有二阶导数，因而在 $0$ 处连续，所以 $f(0)=0$。进而

由于 $f^{\prime \prime }(x)>0$，函数 $f$ 严格凸，其图像不低于任一点处的切线。因此在 $x=0$ 处有

故对定义域内所有 $x$，均有 $f(x)\ge x$。