取对应于特征值 $2$ 的非零特征向量 $v$，则 $Av=2v$，从而 $A^{2}v=4v$。

于是 $\frac{1}{3}{A}^2$ 在 $v$ 上的特征值为 $\frac{4}{3}$。因矩阵非奇异，其逆矩阵在同一特征向量上的特征值为倒数 $\frac{3}{4}$，故选 B。