2001 · 数学三 · 第 14 题 · 解答题

某商品进价为

a

元/件。根据以往经验，当销售价为

b

元/件时，销售量为

c

件（

a, b, c

均为正常数，且

b \geq \frac{4}{3} a

）。市场调查表明，销售价每下降

10%

，销售量可增加

40%

。现决定一次性降价。

答案

$\frac{5 b + 4 a}{8} 元 / 件$

$\frac{c ( 5 b - 4 a ) ^{2}}{16 b} 元$

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设降价比例为 $x$ ，则销售价为 $b (1 - x)$ ，销售量为 $c (1 + 4 x)$ 。利润为

P (x) = c [b (1 - x) - a] (1 + 4 x) = c [- 4 b x^{2} + (3 b - 4 a) x + b - a] .

由于 $b ⩾ \frac{4}{3} a$ ，二次函数顶点的横坐标

x_{0} = \frac{3 b - 4 a}{8 b} ⩾ 0,

且 $x_{0} < 1$ ，故顶点在允许的降价范围内。最大利润对应的销售价为

b (1 - x_{0}) = \frac{5 b + 4 a}{8} .

沿用第一问的利润函数及最优降价比例。将 $x_{0} = \frac{3 b - 4 a}{8 b}$ 代入利润函数，得到

P_{m a x} = c (b - a + \frac{( 3 b - 4 a ) ^{2}}{16 b}) = \frac{c ( 5 b - 4 a ) ^{2}}{16 b} .