写 ${\xi }_2=(u,v,w{)}^T$。由 $A{\xi }_2={\xi }_1$ 得 $u-v-w=-1$、$2v+w=1$，所以 $u=-v$，从而 ${\xi }_2=(-t,t,1-2t{)}^T$。

写 ${\xi }_3=(u,v,w{)}^T$。直接计算 $A^2{\xi }_3={\xi }_1$ 等价于 $u+v=-\frac{1}{2}$，而 $w$ 任意。因此 ${\xi }_3=(-s-\frac{1}{2},s,r{)}^T$，其中 $s,r\in \mathbb{R}$。

先算得 $A{\xi }_1=0$。对任意上问的 ${\xi }_3=(-s-\frac{1}{2},s,r{)}^T$，有

$A{\xi }_3=(-2s-r-\frac{1}{2},2s+r+\frac{1}{2},-4s-2r{)}^T$。这个向量不可能是 ${\xi }_1$ 的倍数：若倍数为 $\lambda$，前两坐标给出 $\lambda =2s+r+\frac{1}{2}$，第三坐标则要求 $-4s-2r=-2\lambda =-4s-2r-1$，矛盾。

若 $c_1{\xi }_1+c_2{\xi }_2+c_3{\xi }_3=0$，左乘（施加）$A$ 得 $c_2{\xi }_1+c_{3}A{\xi }_3=0$。由上面的非共线性，$c_2=c_3=0$；再由 ${\xi }_1\ne 0$ 得 $c_1=0$。故三向量线性无关。