在已知关系中令 $x={\mathrm{e}}^u$，得到 $f(u)={\mathrm{e}}^{-u}\ln (1+{\mathrm{e}}^u)$，故 $f(x)={\mathrm{e}}^{-x}\ln (1+{\mathrm{e}}^x)$。

分部积分得

而 $\int \frac{\mathrm{d}x}{1+{\mathrm{e}}^x}=x-\ln (1+{\mathrm{e}}^x)$，所以 $\int f(x)\mathrm{d}x=x-(1+{\mathrm{e}}^{-x})\ln (1+{\mathrm{e}}^x)+C$。