1990 · 数学三 · 第 12 题 · 解答题

计算二重积分

\iint_{D} x e^{- y^{2}} d x d y

，其中

D

是曲线

y = 4 x^{2}

和

y = 9 x^{2}

在第一象限所围成的区域。

答案

$\frac{5}{144}$

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在第一象限固定 $y \geq 0$ 时，两条抛物线之间有

\frac{y}{3} \leq x \leq \frac{y}{2} .

因此广义二重积分为

\int_{0}^{\infty} \int_{\frac{y}{3}}^{\frac{y}{2}} x e^{- y^{2}} d x d y = \frac{5}{72} \int_{0}^{\infty} y e^{- y^{2}} d y = \frac{5}{144} .