2017 · 数学三 · 第 16 题 · 解答题

区域位于曲线 $y = x$ 下方、 $x$ 轴上方，即 $0 \leq x < + \infty$ ， $0 \leq y \leq x$ 。被积函数非负连续，可按非负函数的积分换序定理写成累次积分，并由最终结果判断收敛。
先对 $y$ 积分，令 $u = y^{4}$ ，则 $d u = 4 y^{3} d y$ ，积分上下限变为 $0, x^{2}$ ，得到

\int_{0}^{x} \frac{y ^{3} d y}{( 1 + x ^{2} + y ^{4} ) ^{2}} = \frac{1}{4} \int_{0}^{x^{2}} \frac{d u}{( 1 + x ^{2} + u ) ^{2}} = \frac{1}{4} [- \frac{1}{1 + x ^{2} + u}]_{0}^{x^{2}} = \frac{1}{4} (\frac{1}{1 + x ^{2}} - \frac{1}{1 + 2 x ^{2}}) .

故

I = \frac{1}{4} \int_{0}^{+ \infty} (\frac{1}{1 + x ^{2}} - \frac{1}{1 + 2 x ^{2}}) d x .

其中两项反常积分分别收敛，可以拆开。由反正切原函数，

\int_{0}^{+ \infty} \frac{d x}{1 + x ^{2}} \int_{0}^{+ \infty} \frac{d x}{1 + 2 x ^{2}} = \frac{π}{2}, = [\frac{1}{2} arctan (2 x)]_{0}^{+ \infty} = \frac{π}{2 2} .

所以原积分收敛，且 $I = \frac{( \frac{π}{2} - \frac{π}{( 2 2 )} )}{4} = (2 - 2) \frac{π}{16}$ 。

答案